Progressão aritmética

30-09-2010 21:10

Progressão Aritmética

Definição

É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo. É a soma do anterior com uma constante, denominada razão. Esta razão e representada pela letra r.

 

Elementos

a1 - 1o termo

an - termo genérico (ou n-ésimo termo)

r - razão

n - número de termos

Sn - soma dos termos

TM - termo médio

 

Fórmula do termo Geral da P.A.

a_n = a₁ + (n-1).r

 

Interpolação Aritmética

Interpolar ou inserir 'k' meios aritméticos entre os termos a₁ e a_n significa formar uma progressão aritmática de 'k + 2' termos, onde a₁ e a_n são extremos.

 

 

 

 

 

Soma dos Termos da P.A.

A soma dos termos de uma P.A. limitada (ou finita) é igual ao produto da semi-soma dos extremos pelo número de termos.

 

 

 

 

 

Termo Médio de uma P.A.

 

 

 

 

Consequência da Fórmula da Soma

P.A. de número ÍMPAR de termos S_n = TM .

S_i - S_p = TM

onde: S_i = a1 + a3+ a5 + ... e S_p = a2 + a4 + a6 + ...

P.A. de número PAR de termos: 

 

 

 

Representação de 3 termos na P.A.

Quando três termos desconhecidos estão em progressão aritmética, pode-se usar o seguinte artifício:

(x-r) ; x ; (x+r)

 

 

 

Exercícios - PROGRESSÃO ARITMÉTICA - P.A.

Questões

1-) Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...).

2-) Encontre o termo geral da P.A. (7/3, 11/4, ...).

3-) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10, ...).

4-) Qual é o centésimo número natural par ?

 

Respostas

Questão 1

Dados: a₁ = 2 ; r = 7 - 2 = 5 ; a_n = ? ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r

a_n = 2 + (n -1).5 ==> a_n = 2 + 5n - 5 ==> a_n = 5n - 3

Resposta: a_n = 5n - 3

Questão 2

Dados: a₁ = 7/3 ; r = 11/4 - 7/3 = (33 - 28)/12 = 5/12 ; a_n = ? ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a_n = 7/3 + (n -1). 5/12 ==> a_n = 7/3 + 5/12n - 5/12 ==> a_n = 5/12n + 28/12 - 5/12 ==> a_n = 5/12n + 23/12

Resposta: a_n = 5/12n + 23/12 ou a_n = (5n + 23)/12

Questão 3

Dados: a₁ = 4 ; r = 10 - 4 = 6 ; a_n = a₁₅ = ? ; n = 15

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a₁₅ = 4 + (15 -1).6 ==> a₁₅ = 4 + 14.6 ==> a₁₅ = 4 + 84 ==> a₁₅ = 88

Resposta: a₁₅ = 88

Questão 4

Dados: a₁ = 0 ; r = 2 - 0 = 2 ; a_n = a₁₀₀ = ? ; n = 100

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a₁₀₀ = 0 + (100 -1).2 ==> a₁₀₀ = 0 + 99.2 ==> a₁₀₀ = 198

Resposta: a₁₀₀ = 198

 

 

Links de video aulas no youtube para melhor compreensão do assunto:

https://www.youtube.com/watch?v=Bv8vRXpvp88  

parte  1

https://www.youtube.com/watch?v=DFykbS5Ures    

parte 2

https://www.youtube.com/watch?v=1C2-PtD8vLc     

parte 3